Aksjomat indukcji jest w najwyższym stopniu problematycznym z aksjomatów Peano. Sprawia gorsza połowa, iż aksjomatyka liczb naturalnych nie jest wyrażona w języku pierwszego w przybliżeniu, jednakże w ciągu to (jak wykazał Richard Dedekind) jest niewiasta kategoryczna, lub każde dwie modele spełniające te aksjomaty są izomorficzne.praca
Uogólnieniem pojęcia liczności zbioru skończonego na wszelkie żniwa, oraz nieskończone, jest tzw. wigor zbioru. Dwa plon A tudzież B są równoliczne (mają tę samą moc), jeżeli elementy zbioru A wolno zjednoczyć w pary z elementami zbioru B, ano by iks fragment zbioru A tudzież iks fragment zbioru B poprzedni wykorzystane raz tudzież ledwie raz.praca
Z twierdzenia Gödla o niezupełności wynika, iż dowolna \\\\\\\\\\\\\\"porządnie opisywalna\\\\\\\\\\\\\\" aksjomatyka liczb naturalnych w języku pierwszego jest niezupełna. Zatem dla każdego jej modelu (konstrukcji) istnieją takie zdania, które chociaż prawdziwe w obrębie danej konstrukcji, nie dają się wyprowadzić z aksjomatów. Arytmetyki Peany PA nie da się kończyć skończoną liczbą aksjomatów w istocie, by prawdziwość każdego jej twierdzenia dawała się rozstrzygnąć. Matematycy znają takie twierdzenia teorii liczb (np. zapewnienie Goodsteina), których nie wolno pokazać ani ściąć z nóg na gruncie PA (choć wynikają one z aksjomatów Peany).praca
Na gruncie naiwnej (nie-aksjomatycznej) teorii mnogości stwierdza się, iż ilość kardynalna to sala równoważności relacji równoliczności zbiorów. Wówczas wigor zbioru to ilość kardynalna która jest klasą równoważności tego zbioru. Formalizacja tego podejścia na gruncie ZF jest garść złożona, gdyż ano zdefiniowane liczby kardynalne nie byłyby zbiorami, i klasami właściwymi. Nawet używając formalizacji teorii mnogości dozwalającej na sposób życia klas, nie moglibyśmy sformułować definicję klasy wszystkich liczb kardynalnych, trzeba z tej przyczyny utrudniać się do \\\\\\\\\\\\\\"fragmentów początkowych\\\\\\\\\\\\\\" klas równoważności tudzież ukończyć kolumna technicznych komplikacji.

Z tego powodu, na gruncie aksjomatycznej teorii mnogości definiuje się liczby kardynalne w lekko zmieniony sposób: ilość kardynalna to tzw początkowa ilość porządkowa, lub taka ilość porządkowa, która nie jest równoliczna z żadną liczbą porządkową od niej mniejszą (równoważnie: ilość porządkowa która nie jest równoliczna z żadnym swoim elementem). Przy założeniu AC, iks klasa jest równoliczny z pewną (tak zdefiniowaną) liczbą kardynalną nazywaną mocą tego zbioru.praca